Katedra Mechaniki Maszyn Włókienniczych
Politechnika Łódzka

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/

 
Department of Textile Machine Mechanics
Lodz University of Technology

http://bhp-k412.p.lodz.pl/k412/index.htm

 

 

 

MECHANIKA MASZYN

Komputerowe Modelowanie Maszyn

 

Szkic wykładu i laboratorium komputerowego

 

Prof. dr hab. inż. Jerzy Zajączkowski

 

MACHINE MECHANICS

Computer Modelling of Machines

 

Outline of lecture and computer lab

 

Professor Jerzy Zajaczkowski

 

Programy komputerowe C++ Builder implementujące algorytmy opisane w tym podręczniku, są dostępne na końcu podręcznika i także tutaj:

Computer programs C++ Builder implementing algorithms described in this book are available at the end of this book and also here:

 

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htm

 

Translation

http://translate.google.pl/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Łódź 2007, 2012, 2013

Lodz 2007, 2012, 2013

 

 

 

Słowa kluczowe: dynamika maszyn, mechanizmy dźwigniowe, mechanizmy krzywkowe, dynamika nieliniowa, systemy elektromechaniczne.

 

Keywords: machinery dynamics, linkage mechanisms, cam mechanisms, nonlinear dynamics, electromechanical systems.

 

 

 

 

Wydanie elektroniczne

Electronic edition

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.pdf

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.doc

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.docx

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmpoleng.htm

 

Katedra Mechaniki Maszyn Włókienniczych

Politechnika Łódzka

Żeromskiego 116, 90-924 Łódź, Tel./fax. (0 42) 631 33 84

 
Department of Textile Machine Mechanics
Lodz University of Technology

116 Zeromskiego Street, Lodz, Poland

 

jerzy.zajaczkowski@p.lodz.pl

jzaj@wp.pl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prawa autorskie zastrzeżone. Kopiowanie, drukowanie i nieodpłatne rozpowszechnianie jest dozwolone, pod warunkiem zamieszczenia nazwiska autora niniejszej publikacji.

©Copyright: Jerzy Zajączkowski

Łódź, 2007, 2012, 2013

 

All rights reserved. Copying, printing and free distribution is permitted, provided that the name of the author of this publication will be shown.

©Copyright: Jerzy Zajaczkowski

Lodz, 2007, 2012, 2013

 

 

 

 

 

SPIS TREŚCI

 

 

 

 

1. Kinematyka mechanizmów 

2. Dynamika maszyn o ruchu zmiennym

3. Mechanika manipulatorów

4. Drgania układów mechanicznych

5. Dynamika układów nieliniowych

 

TABLE OF CONTENTS

1. Kinematics of mechanisms

2. The dynamics of variable-motion machines

3. Mechanics of manipulators

4. The vibrations of mechanical systems

5. The dynamics of nonlinear systems

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WSTĘP

 

           Opracowanie zawiera treść wykładów oraz materiały wstępne potrzebne do realizacji ćwiczeń w laboratorium komputerowym.

W rezultacie odbytych zajęć student zdobywa następujące umiejętności:

1. Zastępowanie obiektu rzeczywistego układem równań

2. Budowanie programów komputerowych stanowiących modele układów rzeczywistych

3. Analizowanie dynamiki układów nieliniowych

 

Na przykładach reprezentujących

           - mechanizmy dźwigniowe i krzywkowe

           - maszyny z napędem elektrycznym

           - manipulatory i chwytaki sterowane komputerowo

           - układy drgające dyskretne i ciągłe oraz liniowe i nieliniowe

student nabywa następujące umiejętności uniwersalne:

1. Rozwiązywanie układów nieliniowych równań algebraicznych

2. Zastępowanie funkcji dyskretnej funkcją ciągłą z zastosowaniem szeregów Fouriera i wielomianów Lagrange’a oraz znajdowanie pochodnych tych funkcji

3. Rozwiązywanie układów nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

4. Zastępowanie układów równań różniczkowych cząstkowych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi

5. Analizowanie macierzowych równań różniczkowych i algebraicznych jednorodnych i niejednorodnych

6. Komputerowa wizualizacja ruchomych obiektów

Niektóre fragmenty tego opracowania zostały zaczerpnięte z monografii autora [1]

 

INTRODUCTION

 

This study contains the text of the lectures and materials needed to carry out exercises in the computer laboratory.

As a result of activities undertaken student gains the following skills:

1. Replacing the real system with a set of equations

2. Building a computer program which models the real system

3. Analyzing the dynamics of nonlinear systems

 

By studying examples

      - linkage and cam mechanisms

      - machines with electric drive

      - computer-controlled manipulators and grippers

      - oscillating systems, continuous and discrete linear and nonlinear

student acquires universal following skills:

1. Solving systems of nonlinear algebraic equations

2. Replacing discrete functions with the continuous functions using Fourier series and Lagrange polynomials and finding derivatives of these functions

3. Solving nonlinear systems of ordinary differential equations

4. Replacing the partial differential equations with the ordinary differential equations

5. Analyzing the matrix differential equations and algebraic homogeneous and inhomogeneous

6. Computer visualization of moving objects

Some parts of this paper are taken from the author's monograph [1]

 

 

 

1.      KINEMATYKA MECHANIZMÓW

1. KINEMATICS OF MECHANISMS

 

Zasada prac wirtualnych

The principle of virtual work

 

Zależności geometryczne jakie zachodzą pomiędzy położeniami poszczególnych elementów mechanizmów są niezbędne dla określenia związków dynamicznych

Geometric dependencies that exist between the positions of individual elements of the mechanisms are necessary to determine the dynamic relationships

 

w

Rys. 1.1. Wektor F wykonujący pracę na drodze dr

Figure 1.1. The vector F doing the work along the path dr

 

Praca elementarna zdefiniowana jest następującą zależnością

The elementary work is defined by the following equation

 

(1.1)

Praca wirtualna wszystkich sił działających na układ punktów materialnych, łącznie z siłami bezwładności wynosi

The virtual work of all the forces acting on the set of material points, including the inertia forces is

 

(1.2)

Dla przykładowego mechanizmu pokazanego na rys. 1.2

For the mechanism shown in Figure 1.2

M111

 

Rys. 1.2. Schemat maszyny z korbą i suwakiem

Figure 1.2. Diagram of machine with crank and slider

 

zależność (1.2) przyjmuje postać

equation (1.2) takes the form

(1.3)

Dzieląc równanie (1.3) przez dF otrzymujemy równanie różniczkowe

Dividing equation (1.3) by dF, one obtains the differential equation

 

(1.4)

Aby równanie to mogło być rozwiązane musimy najpierw znaleźć funkcję x=x(F), określającą geometryczny związek pomiędzy przemieszczeniami elementów układu i temu będzie poświęcony ciąg dalszy tego rozdziału.

In order to solve this equation we must find a function x=x(F) that determines the geometrical relationship between the displacements of system components and what follows is devoted to this purpose.

 

Geometria ruchu - mechanizmy dźwigniowe

The geometry of the motion - linkage mechanisms

Postać dyskretna funkcji ruchu

Discrete form of functions of motion

Aby wyznaczyć funkcje definiujące zależności pomiędzy współrzędnymi elementów mechanizmu, zastępujemy go układem zamkniętych wieloboków wektorów [1-4]. Składowe wypadkowych tych wieloboków są równe zero

In order to determine the functions that define the relationship between the coordinates of the elements of the mechanism, we replace it by the system of closed polygons of vectors [1-4]. The components of the resultant vector polygons are equal to zero

 

(1.5)

Wielkościami szukanymi w układzie równań trygonometrycznych (1.5) są współrzędne liniowe lub kątowe elementów mechanizmu. Tworzymy z nich wektor x=(Li,...,aj), a układ równań traktujemy jako funkcję wektorową zmiennej x.

The quantities that are to be found from set of equations (1.5) are linear or angular coordinates of mechanism elements. We formulate a vector x=(Li,...,aj) and the system of equations is now treated as a vector function of a variable x

 

 

(1.6)

W przypadku czworoboku przegubowego otrzymamy

In case of a four-bar linkage, one gets

 

 

 

Rys. 1.3. Czworobok przegubowy i odpowiadający mu zamknięty wielobok wektorów

Figure 1.3. Four-bar linkage and a corresponding closed polygon of vectors

 

,

.

(1.7)

Funkcja wektorowa

Vector function

.

(1.8)

Dla mechanizmu przestrzennego mamy

For a spatial mechanism, we have

 

Rys. 1.4. Schemat mechanizmu przestrzennego i odpowiadający mu wielobok wektorów

Figure 1.4. Schematic diagram of the spatial mechanism and the corresponding polygon of vectors

 

(1.9)

Dołączymy równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa

We append the equation resulting from the theorem of Pythagoras

 

.

(1.10)

Funkcja wektorowa

The vector function

 

(1.11)

Dla mechanizmów złożonych można będzie wyodrębnić taką ilość wieloboków, która pozwoli na otrzymanie tylu niezależnych równań ile jest niewiadomych.

 

In complex mechanisms, an appropriate number of polygons can be distinguished, that will allow one to obtain as many independent equations as there are unknowns.

 

Rys. 1.5. Pierwsze (a) i kolejne przybliżenia (b) miejsca zerowego uzyskane przez zastąpienie krzywej za pomocą stycznej; (c) wielokrotne wykorzystanie tej samej stycznej

Figure 1.5. First (a) and subsequent approximations (b) of zero, obtained by replacing the curve with the tangent straight line, (c) multiple use of the same tangent line

 

        Rozwiązaniem układu równań (1.5) jest miejsce zerowe funkcji (1.6). Poszukiwanie miejsca zerowego funkcji y=F(x)=0 jednej zmiennej zilustrowane jest na rys. 1.5. Rozpoczynamy przyjmując oszacowanie miejsca zerowego xp. Dla x=xp zastępujemy krzywą y=F(x) liną prostą styczną do krzywej (rys. 1.5a) i znajdujemy jej miejsce zerowe xp+1 (rys. 1.5b). Czynność tę powtarzamy (rys. 1.5.b) zbliżając się dowolnie blisko miejsca zerowego krzywej. Obliczenia można przyspieszyć wykorzystując styczną wielokrotnie (rys. 1.5c).

 

        The solution of equations (1.5) is such a value of the independent variable x for which the vector function (1.6) is equal to zero. For one variable, seeking the zero of the function y=F(x)=0 is illustrated in Figure 1.5. We begin by taking a zero estimate xp. For x = xp we replace the curve y=F (x) by its tangent line (Fig. 1.5a) and find its zero position xp+1 (Fig. 1.5b). This operation is repeated (Figure 1.5.b), approaching arbitrarily close to zero value of curve. The calculations can be accelerated by using the tangent repeatedly (Fig. 1.5c).

 

 

        Dla układu dwóch równań funkcja wektorowa y=F(x) oznacza dwie powierzchnie dwuwymiarowe zanurzone w przestrzeni trójwymiarowej. Powierzchnie te przecinają się, a ich wspólna krawędź przebija płaszczyznę y=0. Ten punkt przebicia jest miejscem zerowym funkcji. Dla układu n równań mamy powierzchnie n-wymiarowe zanurzone w przestrzeni (n+1)‑wymiarowej. Układ równań algebraicznych potrzebny do realizacji objaśnionego postępowania znajdujemy korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora

        For a system of two equations, vector function y = F (x) denotes the two dimensional surfaces immersed in three dimensional space. These surfaces intersect one another, and their common edge pierces the plane y = 0. At this point function has zero value. For a system of n equations, we have n-dimensional surfaces immersed in the (n +1)-dimensional space. The system of algebraic equations needed to implement the explained procedure we find using the expansion of to Taylor series.

 

 

 

(1.12)

 

W obliczeniach zastępujemy pochodne cząstkowe różnicami skończonymi.

In the calculations we replace the partial derivatives with finite differences.

 

(1.13)

w oznacza numer wiersza, k numer kolumny macierzy, a wielkość Dxk jest odpowiednio dobraną małą liczbą.

w is the row number and k column number in the matrix, the quantity Dxk is a suitably chosen small number.

        Opisany algorytm nosi nazwę metody Newtona. Szczególnie skuteczny obliczeniowo jest program opracowany przez More'a i Cosnarda (1979-80) [5,6] wykorzystujący udoskonaloną przez  Brenta (1973) postać metody.

        The described algorithm is called Newton's method. In particular, it is computationally efficient to use a computer program developed by More and Cosnard (1979-80) [5,6] using improved by Brent (1973) form of the method.

        Jako zmienną niezależną przyjmujemy kąt obrotu F  wału napędzającego maszynę. Funkcję ruchu określamy jako wektor x(F). Ciągłą dziedzinę zmiennej niezależnej wartości F  zastępujemy zbiorem dyskretnym kolejnych wartości Fk. Dla każdej z wartości zmiennej F układ równań traktujemy jako funkcję wektorową zmiennej wektorowej x.

        As independent variable we take the angle of rotation F  of the driving shaft. The function of the motion is defined as a vector x(F). Continuous domain of independent variable F  we replace by a discrete set of successive values ​​of Fk. For each value of variable F the system of equations is treated as a vector function of the vector variable x.

 

        Wyznaczoną wartość wektora x dla Fi możemy przyjąć jako przybliżone oszacowanie wektora x dla kolejnego położenia mechanizmu Fi+1. Jako wynik obliczeń otrzymamy dla tablicy wartości zadanej wielkości F,  tablice kolejnych wartości wielkości szukanych x

        The evaluated value of the vector x for Fi  we can take as an approximate estimate of the vector x to the next position of the mechanism Fi+1. As a result of the calculation we get for an array of assumed successive values F, the array of successive sought values x.

 

(1.14)

 

 

        Układ może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Dla wcześniej pokazanego płaskiego czworoboku przegubowego o wymiarach (L1=0.1, L2=0.1, Lc=0.025, Lr=0.1, L=0.1) jeżeli rozpoczniemy obliczenia od wartości Y=0 to otrzymamy rozwiązanie opisujące ruch oscylacyjny wahacza w otoczeniu osi pionowej. Jeżeli natomiast rozpoczniemy obliczenia od wartości Y =p/2  to otrzymamy rozwiązanie opisujące drugą możliwą konfigurację, dla której wahacz wykonuje oscylacja w otoczeniu osi poziomej.

        The system can have more than one solution. For the previously shown flat four-bar linkage with dimensions (L1=0.1, L2=0.1, Lc=0.025, Lr=0.1, L=0.1), if we start calculating from the value Y=0, we obtain a solution describing the oscillatory motion of rocker in the vicinity of vertical axis. However, if we start calculating from the value Y =p/2 we obtain a solution describing a second possible configuration, for which the rocker oscillates in the neighbourhood of the horizontal axis.

        Aby wybrać potrzebne nam rozwiązanie wykonujemy analizę, obejmująca wizualizacje mechanizmu w ruchu. W tym celu obliczamy współrzędne punktów pozwalających  na wykreślenie mechanizmu. Dla wcześniej pokazanego płaskiego czworoboku  punktami tymi są przeguby, których współrzędne wynoszą

        To choose a required solution, we make an analysis that includes visualization of the mechanism in motion. For this purpose, we calculate the coordinates of the points which allow for the drawing the mechanism. For the previously shown flat four-bar linkage, those points are the joints, whose coordinates are

 

X

0

-Lcsin(F-p/2)

L2-LrsinY

L2

Y

L1

L1+Lccos(F-p/2)

LrcosY

0

Z

0

0

0

0

(1.15)

 

Dla czworoboku przestrzennego otrzymamy

For spatial four-bar linkage, we obtain

 

X

0

-Lccos(p-F)

L2-Lrsina

L2

Y

L1

L1

Lr cosa

0

Z

0

-Lcsin(p-F)

0

0

(1.16)

 

 

Rys. 1.6. Obrót układu współrzędnych

 

        Współrzędne (X,Y,Z) dla kolejnych położeń mechanizmu zestawiamy w tablicę. Zanim wykonamy rzutowanie, możemy dokonać obrotu mechanizmu w przestrzeni. Współrzędne po obrocie wokół osi Z

The coordinates (X, Y, Z) for the consecutive positions of the mechanism we put in an array. Before doing the projection, we can rotate the mechanism in space. Coordinates after rotation around the Z axis

(1.17)

 

Wokół osi X

Around the X axis

(1.18)

Wokół osi Y

Around the Y axis

 

(1.19)

 

        Aby wykonać rysunek na ekranie musimy wprowadzić odpowiednią skalę. Rzutowanie polega na pominięciu współrzędnej prostopadłej do ekranu. Aby otrzymać wizualizację ruchu, rysujemy mechanizm w danym położeniu, po czym kasujemy ten rysunek i rysujemy mechanizm w następnym położeniu. Tor wybranego punktu otrzymamy łącząc jego współrzędne w kolejnych położeniach.

        To make a drawing on the screen, we have to introduce an appropriate scale. Projecting is equivalent to the omission of the coordinate perpendicular to the screen. To obtain a visualization of the motion, we draw the mechanism in position, then delete the picture and draw a mechanism for the next position. The track of a selected point we get by connecting the coordinates in the consecutive positions of that point.

 

Postać ciągła funkcji ruchu

Continuous form of the function of motion

Dowolną spośród znalezionych funkcji xn , danych tablicą (1.14), oznaczymy Y=Y(Fk)

Any of the found functions xn, given by data array (1.14), we denote Y = Y (F k)

 

(1.20)

 

 

Postać dyskretną (1.20) funkcji zastąpimy funkcją ciągłą (rys. 1.7). W tym celu wykorzystamy szereg trygonometryczny

Discrete form (1.20) we replace by the continuous function (Figure 1.7). For this purpose we use a trigonometric series

 

(1.21)

Rys. 1.7. Funkcja określona zbiorem punktów interpolowana globalnie za pomocą szeregu trygonometrycznego

Figure 1.7. The function defined by a set of points, interpolated globally by the trigonometric series

 

Współczynniki szeregu a określone są wzorami

Coefficients of the series are defined by formulas

 

(1.22)

gdzie DF=2p/N=Fr-1-Fr. Pierwsza stała to średnia wartość funkcji (rys. 1.7), pozostałe stałe oznaczają udział harmonicznych o różnych częstotliwościach. Dla N=2m można przyspieszyć obliczenia korzystając z programu Cooley’ego i Tukey’ego [7] noszącego nazwę szybkiej transformaty Fouriera FFT. Szereg trygonometryczny pozawala zapisać funkcję za pomocą niewielkiej ilości stałych a. Korzystanie z niego pociąga za sobą konieczność obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych, co wydłuża czas obliczeń.

where DF=2p/N=Fr-1-Fr. The first constant is the average value of the function (Figure 1.7); the other constants are average of harmonic contributions of other frequencies. For N=2m we can speed up calculations by using the Cooley's and Tukey's program [7]. In this case the name Fast Fourier Transform FFT is used. Trigonometric series allow us to write the functions with a small number of constants a. Using it requires the calculation of trigonometric functions, what increases the calculation time.

 

 

 

Rys. 1.8. Funkcja określona zbiorem punktów interpolowana lokalnie za pomocą wielomianu

Figure 1.8. Function defined by a set of points interpolated by a polynomial

 

        Szybkość obliczeń można znacznie zwiększyć zastępując lokalnie (rys. 1.8) funkcję dyskretną Y=Y(Fk) (1.20) wielomianem Lagrange'a

        The speed of computation can be greatly increased by replacing locally (Figure 1.8) discrete function Y=Y(Fk)  (1.20) with the Lagrange’s polynomial

 

(1.23)

gdzie

where

 

 

(1.24)

Dla F=Fi licznik ułamka (1.24) równy jest mianownikowi i współczynnik hi=1. W licznikach pozostałych współczynników h mamy czynnik (Fi-Fi) w rezultacie czego są one równe zeru. W konsekwencj wzór (1.23) jest tożsamością w punktach F0, F1, F2 itd. Oznacza to, że krzywa (1.23) przechodzi dokładnie przez punkty Y=Y(Fk) . Z tego powodu można w przybliżeniu założyć, że jest ona wystarczającym przybliżaniem pomiędzy tymi punktami. Inaczej niż to było w przypadku szeregu trygonometrycznego, korzystamy tylko z kilku punktów znajdujących się w otoczeniu interesującego nas miejsca. Okresowe przedłużenie otrzymamy korzystając z zależności Y(F)=Y(F-2kp),  gdzie k określone jest związkiem F-2kp£2p.

For F=Fi  the numerator (1.24) is equal to the denominator of the fraction and therefore the coefficient hi=1. In the numerators of the other fractions h we have the factor (Fi-Fi) and therefore they are equal to zero. In consequence, the formula (1.23) is the identity at the points F0, F1, F2, etc. This means that the curve (1.23) passes exactly through the points Y=Y(Fk) . For this reason, you can roughly assume that it is sufficiently close to original function between these points. Unlike it was in the case of trigonometric series, we use only a few points within the perimeter of the desired location. The periodicity we get by using an extension defined by Y(F)=Y(F-2kp), where k we get from the relationship F-2kp£2p.

 

 

Pochodne funkcji ruchu

Derivatives of the function of motion

 

Aby obliczyć pochodną funkcji, której wartości dane są za pomocą tablicy, prowadzimy przez kilka sąsiadujących punktów wielomian, a następnie obliczamy pochodne tego wielomianu. Zakładamy pochodną w postaci

To calculate the derivative of the function that the data are given by the array, we pass a polynomial curve through several neighbouring points, and then we calculate the derivative of the polynomial. We assume the derivative in the form

 

(1.25)

Wzór (1.25) musi być prawdziwy dla wielomianu [8]

Equation (1.25) must be true for the polynomial [8]

 

(1.26)

Podstawiamy zależność (1.26) do lewej i prawej strony równania (1.25) dla F=F0, kolejno dla k=0,1,2,3,4. Z otrzymanego w ten sposób układu równań wyznaczamy stałe a. Analogicznie postępujemy dla F=F2  oraz F=F4. Przyjmując Fn=F0+nD  znajdujemy wzory określające pierwsze pochodne dla wielomianu przechodzącego przez pięć punktów

 

We substitute the relation (1.26) to the left and right side of equation (1.25) for F=F0, successively for k = 0,1,2,3,4. From thus obtained system of equations we determine constants a.  Similarly, for F=F2  and F=F4. Assuming Fn=F0+nD,  we find formulas for determining the first derivative of a polynomial that passes through five points

 

(1.27)

Drugie pochodne określają zależności

The second derivatives determine the formulas

 

(1.28)

Pierwszy i ostatni wzór dotyczy wartości na początku i na końcu przedziału.

The first and last formula concerns the values ​​at the beginning and the end of the domain range.

Do tablic przemieszczeń (1.20) dołączamy tablice pochodnych

Besides the arrays of displacements (1.20) we have arrays of their derivatives

 

(1.29)

 

 

Odpowiadające funkcjom dyskretnych (1.20) i (1.29) funkcje ciągłe znajdujemy korzystając ze wzorów (1.22) lub (1.23).

The continuous functions corresponding to discrete functions (1.20) and (1.29) we find by using formulas (1.22) or (1.23).

 

 

 

Materiały wstępne potrzebne do realizacji ćwiczeń w laboratorium komputerowym

 

Dla mechanizmów dźwigniowych, pokazanych na rysunkach, zbudować programy komputerowe symulujące ich działanie. Wyznaczyć funkcje określające ruch oraz ich pochodne. Wyniki zapisać na dysku w postaci tablic wartości oraz współczynników szeregu trygonometrycznego. Wykonać wykresy tych funkcji. Zobrazować ruch mechanizmu oraz tory wybranych punktów. Ilość stopni swobody określić korzystając z wzoru w=3n-2p, gdzie n oznacza ilość ruchomych elementów, p przegubów i suwaków.

 

Program komputerowy dla machanizmu pokazanego na rys. 1.3. Czworobok przegubowy i odpowiadający mu zamknięty wielobok wektorów

http://bhp-k412.p.lodz.pl/mmprog/mechfull.txt

 

 

The materials needed to carry out exercises in the computer laboratory

 

For the linkage mechanisms shown in the drawings, build computer programs that simulate their operation. Determine the functions defining the movement and their derivatives. Results write on disk in the form of tables of values ​​and the coefficients of trigonometric series. Show the functions in figures. Illustrate the motion of the mechanism and trajectories of selected points. Determine the number of degrees of freedom using the formula w = 3n-2p, where n is the number of moving parts, p number of joints (pivots and sliders).

 

Computer program for mechanism shown in Figure 1.3 four-bar linkage and a corresponding closed polygon of vectors

 

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htm

 

 

 

 

 

Mechanizm 1

Schemat mechanizmu z podwójnym postojem [1] pokazany jest na rys. 1.9.

Mechanism 1

Schematic diagram of mechanism with the double dwell motion [1] is shown in Figure 1.9.

 

Rys. 1.9. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.9. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

Wymiary:

Dimensions:

r1=0.018, r2=0.052, r3=0.028, r4=0.046, r5=r6=0.022, r7=0.04, r8=0.014, r9=0.044, r10=r11=0.004, r12=0.082,  r13=0.038, a=p/3.

Ilość stopni swobody

Number of degree of freedom

.

Składowe wypadkowych

Resultants components

,

,

,

,

,

.

Wektor szukanych x

Sought vector x

.

Zadany jest kąt obrotu korby F8 Î [0,2p].

The given crank angle  F8 Î [0,2p].

 

Mechanizm 2

Schemat mechanizmu suwakowego pokazany jest na rys. 1.10.

Mechanism 2

Schematic diagram of double slider mechanism is shown in Figure 1.10.

 

 

Rys. 1.10. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.10. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

Wymiary:

Dimensions:

 r1=0.04, r3=0.05, r4=0.08,  r5=0.04, r6=0.08, r7=0.04, r8=0.08, r10=0.02, r11=0.136, a=16p/180 , r2=(r32+r42 -2r3r4cosa)0.5

Ilość stopni swobody

Number of degree of freedom

w=3n-2p=21-20=1.

Składowe wypadkowych

Resultants components

 

,

,

,

,

,

.

 

Wektor szukanych x

Sought vector x

 

.

 

Zadany jest kąt obrotu korby

The given crank angle 

 

.

 

Mechanizm 3

Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.11.

Mechanism 3

Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.11.

Wymiary

Dimensions:

 L1=0.025, L2=0.1, L3=0.1, L4=0.1, L5=0.136, L6=0.05,

Ilość stopni swobody

Number of degree of freedom

w=3n-2p=18-16=2.

Składowe wypadkowych

Resultants components

 

,

,

,

.

 

 

   

 

Rys. 1.11. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.11. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

 

 

 

Wektor szukanych x

Sought vector x

 

 

.

Korby F1 i F2 napędzane są mechanizmami krzywkowymi, dla którego F1=(p/6)sinF, F2=(p/6)cosF, kąt F Î [0,2p].

Cranks F1 and F2 are driven by cam mechanisms, for which F1=(p/6)sinF, F2=(p/6)cosF, angle F Î [0,2p].

 

Mechanizm 4

Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.12.

Mechanism 4

Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.12.

Wymiary

Dimensions

Ilość stopni swobody

Number of degree of freedom

w=3n-2p=24-22=2.

 

 

Rys. 1.12. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.12. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

 

 

 

Składowe wypadkowych

Resultants components

 

,

,

,

,

,

.

Wektor szukanych x

Sought vector x

 

.

 

Korby f1 i f6 napędzane są przekładnią, dla której f1=-F,  f6=F, kąt F Î [0,2p].

Cranks f1 and f6 are driven by a gear, for which f1=-F,  f6=F, angle F Î [0,2p].

 

 

Mechanizm 5

Schemat maszyny szyjącej pokazany jest na rys. 1.13.

Mechanism 5

Schematic diagram of a sewing machine is shown in Figure 1.13.

 

 

 

 

Rys. 1.13. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.13. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

 

Wymiary

Dimensions

Rk=0.017, Lk=0.035, L=Ld=0.184, Lr=0.021, Lc=0.017, r=0.03, hm=0.03

Składowe wypadkowych

Resultants components

 

 

Wielkości szukane

Sought vector x

 ys, gk, g, b, lm, Y1.

Zadany jest kąt obrotu korby F Î [0,2p].

The given crank angle F Î [0,2p].

 

 

 

Współrzędne przegubów

Coordinates of joints

 

 

x

hm

hm+r*cos(Y1)

0

-Lr*cos(a+b)

y

0

-r*sin(Y1)

0

Lr*sin(a+b)

z

0

0

0

0

 

x

hm-Lc*cos(2.0*p-f-( p /2.0-a))

y

Ld*cos(a)+Lc*sin(2.0*p-f-(p/2.0-a))

z

0

 

x

hm

hm+Rk*sin(f-p)

y

Ld*cos(a)

Ld*cos(a)-Rk*cos(f-p)

z

0

0

 

x

hm

y

Ld*cos(a)-ys

z

0

 

 

 

 

 

 

Mechanizm 6

Schemat mechanizmu pokazany jest na rys. 1.14.

Mechanism 6

Schematic diagram of the mechanism is shown in Figure 1.14.

 

Wymiary

Dimensions

 r1=0.025, r2=0.1, r3=0.1, r4=0.025, r5=0.13, r6=0.02, r7=0.08, r8=0.06, r9=0.12, r10=0,02.

Składowe wypadkowych

Resultants components

Wektor szukanych x

Sought vector x

 

Korby F1 i F4 napędzane są przekładnią przez ten sam silnik w taki sposób, że F1=-F, a F4=F/2, kąt F Î [0,2p].

Cranks F1 and F4 are driven by gear and the same motor in such a way that F1=-F, F4=F/2, angle F Î [0,2p].

 

Rys. 1.14. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.14. The mechanism and the corresponding vector polygons

 

 

 

Mechanizm  7

Schemat mechanizmu napędu ramion manipulatora pokazany jest na rys. 1.15.

Mechanism 7

Schematic diagram of a mechanism driving manipulator arm is shown in Figure 1.15.

 

 

 

 

  

Rys. 1.15. Mechanizm i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.15. The mechanism and the corresponding vector polygon

 

 

Układ równań

Set of equations

,

,

        .

Wektor szukanych y

Sought vector y

 

.

Związek pomiędzy momentami sił

The relationship between force moments

 

.

Wymiary

Dimensions

 r1=0.18, r2=0.24, r3=0.07, r4=0.14, r0=sqrt(sqr(r2+r3)+sqr(r1-r4)), h=0.002.

Obliczenia rozpocząć przyjmując f=0 zwiększając f o wartość df= 2p/257*60. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć G=0, g=arctan((r2+r3)/(r1-r4)).

The calculations start taking f=0 and increase gradually f for the value df= 2p/257*60. The initial approximation of sought values take G=0, g=arctan((r2+r3)/(r1-r4)).

 

 

 

Mechanizm 8

Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.16.

Mechanism 8

Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.16.

 

 

Rys. 1.16. Schemat chwytaka i odpowiadający mu wielobok wektorów

Figure 1.16. The gripper and the corresponding vector polygon

 

Wymiary

Dimensions

r1=0.02, r2=0.01, r3=0.02, r4=0.02, r5=0.02.

Ruchliwość chwytaka

Number of degree of freedom

w=3n-2p=15-14=1.

Składowe wypadkowej zamkniętego wieloboku wektorów

Resultants components of closed vector polygon

 

 

,

.

 

Wektor szukanych y

Sought vector y

 

 

Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0.013 zwiększając x o wartość dx=0.014/256. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć a=p/6, b=p/6.

      Rozwiązanie układu równań znajdujemy jako miejsce zerowe funkcji. Wykonując obliczenia dla kolejnych wartości x znajdujemy funkcję ruchu b=b(x).

      Korzystając z zasady prac wirtualnych znajdujemy związek pomiędzy siłą napędową i siłą chwytu

The calculations begin assuming x = 0.013 increasing x for value dx=0.014/256. As an initial approximation of the sought angles take  a=p/6, b=p/6.

The solution of the set of equations we find as the values for which the function takes zero value. In carrying out the calculations for successive values ​​of x we find the motion function  b=b(x).

Using the principle of virtual work we find the relationship between driving force and grip force

 

Związek pomiędzy siłami określa funkcja ruchu b=b(x).

The relationship between the forces determines the motion function b=b(x).

 

 

 

 

Mechanizm 9

Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.17.

Mechanism 9

Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.17.

 

Wymiary

Dimensions

r1=0.01, r2=0.01, r3=0.015, r4=0.025, r5=0.015/2, r6=0.025, r7:=0.01.

Ruchliwość

Number of degree of freedom

w=3n-2p=27-26=1.

Składowe wypadkowych

Resultants components

 

,

,

,

.

 

 

Rys. 1.17. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.17. The gripper and the corresponding vector polygons

 

 

Wektor szukanych y

Sought vector y

 

.

Związek pomiędzy siłami

The relationship between the forces

.

Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0 zwiększając x o wartość dx0.015/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć a2=p/4, a3=p/6, u=r7+2r5, w=r4+r6.

The calculations begin taking x = 0.013 increasing x for value dx=0.015/257. As an initial approximation of the sought variables take a2=p/4, a3=p/6, u=r7+2r5, w=r4+r6.

 

Mechanizm 10

Mechanism 10

    

 

Rys. 1.18. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.18. The gripper and the corresponding vector polygons

 

Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.18.

Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.18.

Wymiary

Dimensions

 r1=0.02, r2=0.03, r3=0.02, r4=0.04, r5=0.015, r6=0.025, r7=0.025, r8=0.04, r9=0.05

Ruchliwość

Number of degree of freedom

w=3n-2p=15-14=1

Układ równań

Set of equations

 

,

,

,

.

 

Wektor szukanych y

Sought vector y

 

.

Związek pomiędzy siłami

The relationship between the forces

 

 

Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0 zwiększając x o wartość dx=0.025/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć a1=p/4, a2=p/6, a4=p/4, a6=p/6.

The calculations begin assuming x = 0 increasing x for value dx=0.025/257. As an initial approximation of the sought angles take  a1=p/4, a2=p/6, a4=p/4, a6=p/6.

 

 

 

Mechanizm 11

Schemat chwytaka pokazany jest na rys. 1.19.

Mechanism 11

Schematic diagram of the gripper is shown in Figure 1.19.

Wymiary

Dimensions

 r0=0.04, r1=0.04, r2=0.01, r3=0.025, r4=0.015, r5=0.03, r6=0.015, r7=0.015, r8=0.015, r9=0.04.

Ruchliwość

Number of degree of freedom

 w=3n-2p=27-26=1.

Układ równań

Set of equations

,

,

,

.

Wektor szukanych y

Sought vector y

 

.

 

 

Rys. 1.19. Schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów

Figure 1.19. The gripper and the corresponding vector polygons

 

Związek pomiędzy siłami

 

Obliczenia rozpocząć przyjmując x=0.002 zwiększając x o wartość dx:= 0.015/257. Jako przybliżenia początkowe wielkości szukanych można przyjąć a1=p/6, a3=p/4, a4=p/6, a8=p/4.

The calculations begin assuming x = 0.002 increasing x for value dx=0.015/257. As an initial approximation of the sought angles take a1=p/6, a3=p/4, a4=p/6, a8=p/4.

 

 

Geometria ruchu -mechanizmy krzywkowe

The geometry of motion of cam mechanisms

 

Synteza funkcji ruchu

Synthesis of the motion function

Funkcję Y=Y(F), określającą związek pomiędzy ruchem krzywki i popychacza, można zdefiniować przedziałami sklejając ją z kawałków funkcji elementarnych. W miejscu sklejenia funkcja wraz z pierwszą pochodną musi być ciągła.

The function Y=Y(F), defining the relationship between movement of the cam and the follower, you can define in intervals using elementary functions and then joining them together. At the joining points the functions and their first derivative must be continuous.

 

 

(1.30)

Zapewnienie ciągłości drugiej pochodnej może prowadzić do zwiększenia wartości maksymalnego przyspieszenia i dlatego, w praktyce, warunek ten często nie jest spełniony.

 

Ensuring continuity of second derivatives can lead to increased values ​​of maximum acceleration, and therefore, in practice, this condition is often not met.

 

      Funkcję Y=Y(F) określająca związek pomiędzy ruchem krzywki i popychacza można skleić  z funkcji trygonometrycznych i wielomianów. Będziemy stosowali dwie funkcje.

 

      The function Y=Y(F)  defining the relationship between the rotation of the cam and the motion of the follower can be obtained using trigonometric functions and polynomials. We shall use two functions.

 

(1.31)

Rys.1.20. Funkcja Y(F) określona wzorem (1.31), jej pierwsza i druga pochodna dla F [0,b]

Figure.1.20. Function Y(F)  defined by (1.31), its first and second derivative for F [0,b]

 

 

(1.32)

Rys. 1.21. Funkcja  Y(F) określona wzorem (1.32), jej pierwsza i druga pochodna dla F [0,b]

Figure 1.21. Function Y(F) defined by (1.32), its first and second derivative for F [0,b]

 

Funkcja (1.32) różni się od funkcji (1.31) tym że jej druga pochodna jest równa zeru na początku i na końcu przedziału (rys.1.21, 1.20) co ułatwia spełnienie warunku ciągłości drugiej pochodnej.

Synteza funkcji ruchu zilustrowana jest przykładami.

 

The function (1.32) differs from the function (1.31) in that its second derivative is zero at the beginning and at the end of the interval (rys.1.21, 1.20), which facilitates the fulfilment of the condition of continuity of the second derivative.

Synthesis of the motion function is illustrated with examples.

 

Przykład 1

Zdefiniować funkcję ruchu której przebieg pokazano na rysunku 1.22. Dane: Ys, b,  b3

Example 1

Define the function of motion shown in Figure 1.22. Data:Ys, b,  b3

Rys. 1.22. Funkcja ruchu popychacza z postojem w górnym i dolnym położeniu

Figure 1.22. Function of follower movement with a dwell in the upper and lower position

 

Wprowadzamy lokalne układy współrzędnych, w których funkcje składowe zdefiniowane są wzorami podstawowymi (1.32). Przyjmujemy  b1=b2=0.5b.

We introduce local coordinate systems in which the member functions are defined with the basic formulas (1.32). Take  b1=b2=0.5b.

 

,

.

 

Warunki ciągłości funkcji i jej pierwszej pochodnej

Conditions of the continuity of a function and its first derivative

 

,

 

dają układ równań

gives a set of equations

,

z którego można wyznaczyć stałe

from which we can find constants

,

.

 

 

Ciągłość drugiej pochodnej w miejscach sklejenia jest zapewniona, ponieważ jest pochodna jest równa zero z obydwu stron miejsca sklejenie. Funkcja jest zdefiniowana w przedziale [0, b], . Zdefiniujemy ją w przedziale  [0, µ] w następujący sposób

Continuity of the second derivative in connecting points is assured because its derivative is zero on both sides of the point. The function is defined in the interval [0, b], b=b1+b2. We define it in the range  [0, µ] in the following manner

 

,

,

,

,

,

.

(1.33)

Przykład 2

Zdefiniować funkcję ruchu której przebieg pokazano na rysunku 1.23. Dane: Ys, b.

Example 2

Define the function of motion shown in Figure 1.23. Data: Ys, b.

 

Rys. 1.23. Funkcja ruchu popychacza z postojem w dolnym położeniu

Figure 1.23. Function of follower movement with a dwell in the lower position

 

Wprowadzamy lokalne układy współrzędnych, w których funkcje składowe zdefiniowane są wzorami podstawowymi (1.32, 1.31). Przyjmujemy b1=b2=0.5b. W pierwszym przedziale

We introduce local coordinate systems in which the member functions are defined with the basic formulas (1.32, 1.31). Take  b1=b2=0.5b. In the first interval

 

.

W drugim przedziale

In the second interval

,

.

 

Warunek ciągłości funkcji i jej pierwszej pochodnej

Conditions for the continuity of the function and its first derivative

 

,

 

 

daje układ równań

gives a set of equations

 

 

,

 

z którego można wyznaczyć stałe

from which we can find constants

 

,  .

 

Ciągłość drugiej pochodnej w miejscach sklejenia jest zapewniona ponieważ jest ona równa zero.  Zdefiniujemy funkcję w przedziale  [0, µ] w następujący sposób

Continuity of the second derivative in connecting points is assured because its derivative is zero on both sides of the point. We define the function in the range  [0, µ] in the following manner

 

 

,

,

,

,

,

.

(1.34)

 

 

 

 

 

Określanie zarysu krzywki

Determining the cam shape

      Chcemy określić kształt krzywki, która będzie realizowała ruch popychacza określony znaną funkcją Y=Y(F) [9, 1].

      We want to determine the shape of the cam, which will implement the follower movement specified by defined function Y=Y(F) [9, 1].

 

Rys. 1.24. Krzywki jako obwiednie kolejnych położeń popychacza płaskiego i okrągłego

Figure 1.24. Cams as boundaries of the successive positions of the flat and round face follower

 

      Aby krzywa zamknięta określająca zarys krzywki była nieruchoma na płaszczyźnie, zamiast obracać krzywkę, obracamy ostoję (rys. 1.24) wraz z popychaczem. Obwiednia kolejnych położeń popychacza stanowić będzie zarys krzywki. Jeżeli popychacz zakończony jest rolką to otrzymamy dwie obwiednie: zewnętrzną i wewnętrzną.

      To make the outline curve of the cam motionless on the plane, instead of rotating the cam, we rotate the base (Figure 1.24) together with the follower. The envelope of successive positions of the follower face will be the outline of the cam. If the follower has a roller we get two envelopes: external and internal.

      Rodzinę linii, określających kształt części popychacza, stykającej się z krzywką, zapiszemy równaniem

      The family of lines defining the shape of the follower face that is in contact with the cam we write as follows

 

(1.35)

Dołączamy do niego jego pochodną cząstkową względem kąta obrotu krzywki

The partial derivative with respect to its angle of rotation of the cam          

 

(1.36)

Równania (1.35, 1.36) stanowią układ, którego rozwiązania (x,y), dla kolejnych wartości kąta F, określają współrzędne zarysu krzywki. Obwiednia istnieje jeżeli spełnione są następujące warunki

The solution (x, y) of equations (1.35, 1.36) for successive values ​​of the angle of F  are the coordinates of the points of cam profile. The existence of the envelope is subject to the following conditions

 

(1.37)

      W przypadku popychacza płaskiego (rys. 1.24, 1.25, 1.26) układ równań (1.35, 1.36) przyjmuje postać

      In the case of a flat face follower (Figure 1.24, 1.25, 1.26) system of equations (1.35, 1.36) takes the form

(1.38)

(1.39)

Jego rozwiązanie określa współrzędne zarysu krzywki

Its solution determines the coordinates of the cam profile

 

(1.40)

 

Rys. 1.25. Zależność przemieszczenia liniowego Y popychacza od kąta obrotu krzywki F widziana w układzie obracającym się z krzywką

Figure 1.25. The dependence of linear displacement of the follower from angle F of cam revolution as it is seen from the system rotating with the cam

 

          Równanie rodziny prostych (1.38) dla popychacza o ruchu postępowym znajdujemy z rys. 1.25. Równanie linii prostej popychacza

          The equation of the family of lines (1.38) for the linear motion of the flat faced follower can be found from Figure 1.25. The equation of a straight line

 

.

(1.41)

Z rys. 1.25 znajdujemy stałą n

From Figure 1.25 we find a constant n

 

(1.42)

oraz współczynnik kierunkowy m

and directional factor m

 

.

(1.43)

Podstawiając wielkości n i m do równania (1.41) otrzymujemy

Substituting n and m into equation (1.41) we obtain

 

.

(1.44)

Aby uniknąć zera w mianowniku równanie (1.44) przepisujemy w postaci (1.38)

To avoid the zero in the denominator of equation (1.44) we rewrite it in the form (1.38)

 

.

(1.45)

Porównując współczynniki w równaniu (1.38) i (1.45) znajdujemy

Comparing the coefficients in equation (1.38) and (1.45) we find

 

.

(1.46)

Podstawiając wielkości A, B i C do równań (1.40) znajdujemy współrzędne zarysu krzywki

Substituting A, B and C to equations (1.40) we find the coordinates of the cam profile

 

,

 

.

(1.47)

 

 

 

Rys. 1.26. Zależność kąta obrotu popychacza Y od kąta obrotu krzywki F  widziana w układzie obracającym się z krzywką

Figure 1.26. Dependence of the rotation angle Y of the follower on cam rotation angle F,   as it is seen in the system rotating with the cam

 

Dla popychacza o ruchu obrotowym równanie rodziny prostych (1.38) znajdujemy z rys. 1.26. Równanie linii prostej popychacza

For the follower having rotary motion the equation of families of straight lines (1.38) we find from Figure 1.26. The equation of a straight line

 

.

(1.48)

Z rys. 1.26 znajdujemy współczynnik kierunkowy m

From Figure 1.26 we find the directional factor m

 

(1.49)

oraz współczynnik n

and coefficient n

.

(1.50)

Równanie (1.48) przepiszemy w postaci ogólnej

Equation (1.48) we write in the general form

 

.

(1.51)

Porównując współczynniki w równaniu (1.38) i (1.51) znajdujemy

Comparing the coefficients in equation (1.38) and (1.51) we find

 

,

(1.52)

(1.53)

Podstawiając wielkości A, B i C do równań (1.40) znajdujemy współrzędne zarysu krzywki

Substituting A, B and C to equations (1.40) we find the coordinates of the cam profile

 

,

 

.

(1.54)

Kąt Y0 oraz odległość osi obrotu popychacza od punktu styczności z krzywką rr (rys. 1.26) można obliczyć z zależności

The angle Y0  and the distance from the axis of rotation of the follower from the point of contact with the cam rr (Figure 1.26) can be calculated from the relationships

,

.

(1.55)

      Dla popychacza z toczkiem (rys. 1.24, 1.27, 1.28) układ równań (1.35, 1.36) ma postać

For the roller follower (Fig. 1.24, 1.27, 1.28) set of equations (1.35, 1.36) has the form

 

(1.56)

(1.57)

Jego rozwiązanie określa współrzędne zarysu krzywki

Its solution determines the coordinates of the cam profile

 

(1.58)

 

 

Jak pokazano na rys. 1.24 mamy to dwie obwiednie. Większą określa znak plus, a mniejszą minus. Pochodne względem F obliczamy numerycznie, wykorzystując zależności (1.27).

 

As shown in Figure 1.24 there are two envelopes. Outer is defined by plus sign, and inner by minus sign. The derivatives with respect to F we calculate numerically, using equation (1.27).

 

      Dla popychacza o ruchu postępowym współrzędne środków okręgów tworzących rodzinę (1.59) znajdujemy z rys. 1.27.

 

For the follower with translating motion the coordinates of centres of circles constituting family (1.59) we find from Figure 1.27.

(1.59)

      Dla popychacza o ruchu obrotowym współrzędne środków okręgów tworzących rodzinę znajdujemy z rys. 1.28

For the follower with rotary motion the coordinates of centres of circles constituting family (1.60)  we find from Figure 1.28.

(1.60)

 

Rys. 1.27. Zależność przemieszczenia liniowego Y  popychacza od kąta obrotu krzywki F  widziana w układzie obracającym się z krzywką.

Figure 1.27. The dependence of the linear displacement of the follower Y  on angle of revolution of cam F, as it is seen from the system rotating with the cam.

 

Rys. 1.28. Zależność kąta obrotu popychacza Y od kąta obrotu krzywki F  widziana w układzie obracającym się z krzywką

Figure 1.28. The dependence of the rotation angle of the follower Y on the angle of revolution of cam F, as it is seen from the system rotating with the cam

 

Naciski działające na krzywkę

The pressure acting on the cam

Siła nacisku popychacza na krzywkę jest prostopadła do zarysu krzywki w punkcie styczności. Składowa siła działająca na popychacz w kierunku jego ruchu (rys. 1.29, 130) może być obliczona jako rzut siły normalnej na ten kierunek.

The follower force acting on the cam is perpendicular to the cam profile at the point of contact. The component of force acting on the follower in the direction of its movement (Fig. 1.29, 130) can be calculated as a projection of the normal force on this direction.

Rys. 1.29. Siła nacisku na krzywkę – popychacz o ruchu postępowym

Figure 1.29. Pressure on the cam - follower with translating motion

 

W przypadku ruchu postępowego, kąt pomiędzy kierunkiem ruchu popychacza i kierunkiem normalnym do krzywki wynosi a=F-as. W przypadku ruchu obrotowego popychacza mamy a=F+Y0+Y-p/2-as. Kąt as obliczymy z zależności

 

In the case of translation of the follower, the angle between the direction of movement of the follower and the direction normal to the cam is a=F-as. In the case of rotation of the follower we have a=F+Y0+Y-p/2-as. The angle as can be calculated from relationship

 

(1.61)

Kąt nachylenia stycznej można znaleźć z zależności

Tangent angle can be found from the relation

(1.62)

 

 

 

Rys. 1.30. Siła nacisku na krzywkę - popychacz o ruchu obrotowym

Figure 1.30. Pressure on the cam - follower with rotary motion

 

      Siłę nacisku na krzywkę dla popychacza o ruchu postępowym znajdziemy z rysunku 1.29

      The force pressing on the cam for translating motion of the follower can be found from Figure 1.29

 

.

(1.63)

 

      Siłę nacisku na krzywkę dla popychacza o ruchu obrotowym znajdziemy z rysunku 1.30

      The force pressing on the cam for rotary motion of the follower can be found from Figure 1.30

 

.

(1.64)

Naciski s z jakimi popychacz działa na krzywkę znajdziemy korzystając ze wzoru Hertza

The pressure s with which the follower acts on the cam can be found using the Hertz formula

 

(1.65)

 

 

 

We wzorze (1.65) Fn oznacza siłę z jaką popychacz naciska na krzywkę, sz oznacza szerokość krzywki, Kf=1/rf  oznacza krzywiznę rolki, Kk=1/rk krzywiznę krzywki, (Ef, Ek ) oznaczają moduły Younga, a (nf , nk ) liczby Poissona rolki (f) i krzywki (k), odpowiednio. Ze wzoru (1.65) wynika, że wielkość nacisków jest wprost proporcjonalna do pierwiastka z wielkości siły, a odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka z szerokości krzywki. Tak więc, dopiero czterokrotne zwiększenie jej szerokości pozwoli na dwukrotne zmniejszenie nacisków.

 

In the formula (1.65) Fn denotes the force with which follower presses on the cam, sz is the width of the cam, Kf=1/rf denotes curvature of the roller, Kk=1/rk the curvature of the cam, (Ef, Ek ) are Young's modules, and (nf , nk ) the Poisson ratio of roller (f) and cam (k), respectively. It follows from (1.65) that the magnitude of the pressure is directly proportional to the square root of the magnitude of the force, and inversely proportional to the square root of the width of the cam. Thus, only a fourfold increase in its width will reduce the pressure to double.

 

Rys. 1.31. Geometryczne związki służące do obliczenia promienia krzywizny r

Figure 1.31. Geometric relationships that are used for calculating radius of curvature r

 

      Wzory pozwalające obliczyć wartość krzywizny zarysu znajdziemy z rys. 1.31

      The equations for calculating the curvature of the cam profile can be found from Figure 1.31

 

(1.66)

Rozwiązując układ równań (1.66) znajdujemy wzór określający promień krzywizny rk

 

By solving equations (1.66) we find the formula defining the radius of curvature rk

(1.67)

 

 

Pochodne obliczamy numerycznie wykorzystując wzory (1.27) i (1.28).

The derivatives we calculate numerically using the formulas (1.27) and (1.28).

Jeżeli krzywka jest wklęsła, to promień toczka musi być mniejszy od najmniejszego promienia krzywizny wklęsłości. W innym wypadku, toczek nie mieściłby się we wklęsłościach krzywki.

If the cam is concave, then the radius of the roller must be smaller than the smallest radius of curvature of the concavity. Otherwise, the roller would not have enough room in the cam concavity.

 

Laboratorium komputerowe

Computer lab

Program komputerowy

Computer program

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htm

Zbudować programy komputerowe realizujące funkcje ruchu popychacza opisane w Przykładzie 1 i 2. Obliczyć współrzędne zarysu krzywek oraz przeprowadzić wizualizację ich współpracy.

Build computer programs implementing the follower motion functions described in Example 1 and 2. Calculate the coordinates of the cam profile and perform visualization of their cooperation.

 

 

 

Zastosowanie metod analitycznych do opisu prostych mechanizmów

The application of analytical methods for describing simple mechanisms

 

Dla nieskomplikowanych mechanizmów związki pomiędzy przemieszczeniami elementów można znaleźć w postaci analitycznej.

For the simple mechanisms the relationships between the displacements of elements can be found in an analytical form.

1. Mechanizm suwakowy pokazany na rys. 1.32

1. The slider-crank mechanism shown in Figure 1.32.

 

 

Figure. 1.32. The slider-crank mechanism

 

Rozwiązując układ równań

Solving set of equations

,

otrzymamy funkcję

we obtain the following function

.

(1.68)

 

2. Czworobok przegubowy pokazany na rys. 1.33

2. Four-bar linkage shown in Figure 1.33

Układ równań

Set of equations

,

.

 

   

 

Rys. 1.33. Mechanizm korbowo – wahaczowy

Figure 1.33. Four-bar linkage

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa eliminujemy jedną z niewiadomych

Using the Pythagoras theorem we eliminate one of the unknowns

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe

We obtained a quadratic equation

 

,

 

,

 

,

 

 

którego rozwiązanie określa funkcję ruchu wahacza

which solution determines the function of motion of the rocker

 

.

(1.69)

 

3. Mechanizm jarzmowy pokazany na rys. 1.34

3. Yoke mechanism shown in Figure 1.34

W przypadku napędu od strony korby otrzymamy

In the case of driving the crank, we have

 

 

 

,

 

,

 

.

(1.70)

 

Rys. 1.34. Mechanizm jarzmowy

Figure 1.34. Yoke mechanism

 

W przypadku napędu od strony jarzma otrzymamy

In the case of driving the yoke, we have

 

 

,

,

.

(1.71)

 

4. Krzywka trójkątna (rys. 1.35) wprawiająca ramkę w ruch postępowy z dwoma postojami

4. Triangle cam (Figure 1.35) driving the frame in the linear motion with the two stops

 

Zależności pomiędzy wymiarami

The relationships between dimensions

 

,                                 ,

,

,

.

Rys. 1.35. Krzywka trójkątna

Figure 1.35. Triangle cam

 

Zamiast obracać krzywką obracamy ostoją.

Instead of rotating the cam we rotate the base.

Rys. 1.36. Kolejne położenia linii styku popychacza względem krzywki

Figure 1.36. The consecutive positions of the contact line relative to the cam

 

Z rysunku 1.36 znajdujemy funkcję określająca ruch popychacza

From Figure 1.36 we find the function determining the motion of the follower

 

,

.

(1.72)

 

 

5. Mechanizm z krzywką walcową

5. The cylinder cam mechanism

Z rysunku 1.37 znajdujemy

From Figure 1.37 we find

 

,

.

(1.73)

 

Rys. 1.37. Krzywka z rowkiem na powierzchni walca

Figure 1.37. The cam with a groove on the surface of the cylinder

 

6. Przekładnia z zębnikami niekołowymi pokazana na rys. 1.38

6. Non-circular gear shown in Figure 1.38

 

ggg

 

Rys. 1.38. Przekładnia z zębnikami niekołowymi

Figure 1.38. Non-circular gear

 

Z rysunku 1.38 znajdujemy

From Figure 1.38 we find

,

 

,

.

(1.74)

 

 

 

 

 

 

 

 

2.      DYNAMIKA MASZYN O RUCHU ZMIENNYM

 

2. DYNAMICS OF VARIABLE MOTION MACHINES

 

 

Maszyna ze sztywnymi elementami o ruchu obrotowym

The machine with rigid rotation elements

 

Na rys. 2.1 pokazany jest schemat dynamiczny maszyny, której elementy wykonują ruch obrotowy. Obracający się element A, za pośrednictwem - nie pokazanego na rysunku - mechanizmu dźwigniowego lub krzywkowego, napędza wahacz B. Współrzędne kątowe (F, Y) określają położenie elementów układu, M oznacza moment siły, (A, B) oznaczają masowe momenty bezwładności. W przypadku ruchu postępowego będziemy mieli odpowiednio: współrzędną liniową, siłę oraz masę.

Figure 2.1 shows a diagram of dynamics of a machine whose components perform the rotary motion. A rotating element A, through - not shown – either cam or linkage mechanism drives the rocker B. The angular coordinates (F, Y) determine the location of system components, M is a torque, (A, B) denote the mass moments of inertia. In the case of the translation we will have instead: linear coordinate, forces and masses.

    

Rys. 2.1. Model maszyny ze sztywnymi wałami z elementami o ruchu obrotowym i schemat silnika prądu stałego

Figure 2.1. Model of machine with rigid shafts with elements having rotary motion and diagram of a DC motor

 

            Sposób wyznaczania funkcji określających zależność pomiędzy ruchem elementu napędzającego i napędzanego omówiony był w poprzednim rozdziale.

 

            Method of determining the function defining the relationship between the movement of the drive and the driven element was discussed in the previous section.

 

            Żądając, aby suma prac wirtualnych wszystkich sił, łącznie z siłami bezwładności, była równa zeru znajdujemy równanie [1]

           

            Reqiring that the sum of virtual work of all forces, including forces of inertia, was equal to zero we find the equation [1]

 

(2.1)

Na wał napędzający A działa moment sił bezwładności, moment silnika Mm oraz moment oporów ruchu Mo

 

On the drive shaft A acts moment of inertia forces, motor torque Mm and moment of resistance to motion Mo

 

(2.2)

Na wał napędzany B działa moment sił bezwładności oraz suma momentów sił pokonujących opory ruchu oraz wykonujących pracę użyteczną Mr

 

On the shaft that is driven B acts moment of inertia forces and the sum of the moments of forces overcoming friction and performing useful work Mr.

 

.

(2.3)

Podstawiając momenty sił (2.2, 2.3) do równania (2.1) otrzymujemy

Substituting moments of forces (2.2, 2.3) into equation (2.1), yields

 

(2.4)

Traktując funkcję ruchu jako funkcję złożoną Y=Y(F(t))  znajdujemy zależności

Treating the motion as a function of a compound function Y=Y(F(t)), we find the relationships

(2.5)

Dzieląc równanie (2.4) przez dF  oraz podstawiając zależność określającą przyspieszenie  (2.5) otrzymujemy równanie

Dividing equation (2.4) by dF and substituting relationship determining the acceleration (2.5), we obtain the equation

 

(2.6)

Po uporządkowaniu równanie ruchu maszyny (2.6) przyjmuje postać

After rearranging (2.6), equation describing the machine motion takes the form

 

(2.7)

 

 

            Obciążenie elementu napędzanego zdominowane jest przez moment siły proporcjonalny do jego przyspieszenia. Inaczej jest dla wału napędowego. Z równania (2.7) wynika, że przy stałej prędkości wału napędowego, kiedy przyspieszenie d2F/dt2 jest równe zeru, jego obciążenie dynamiczne zdominowane jest przez składową proporcjonalną do iloczynu pierwszej i drugiej pochodnej funkcji Y.

            The loading of the driven element is dominated by torque proportional to its acceleration. This is different for the drive shaft. From equation (2.7) it follows, that for a constant speed of the drive shaft, when the acceleration d2F/dt2 is equal to zero, the dynamic loading is dominated by a component proportional to the product of the first and second derivative of the function Y.

            Do równania dynamicznego ruchu maszyny dołączamy równanie momentu napędowego silnika

            With the dynamic equations of the motion of the machine we associate the equation of motor torque (Figure 2.1)

             

 

(2.8a)

 

Tutaj, L oznacza indukcyjność a R oporność uzwojenia wirnika, Kt oznacza stałą momentową, Kb stałą napięciową, u oznacza napięcie zasilania, natężenie prądu. Układ równań (2.8a) wygodnie jest przedstawić w zależności od wielkości mechanicznych

 

Here, L is the inductance and R resistance of the rotor winding, Kt is the torque constant, Kb voltage constant, u is the voltage and i the current. It is convenient rewrite equations (2.8a) in terms of mechanical quantities

 

 

(2.8b)

 

Tm oznacza tu stałą czasową silnika, Wm oznacza prędkość kątową biegu jałowego (dla Mm=0 i Tm=0), Cm to sztywność charakterystyki silnika, równa ujemnemu nachyleniu wykresu momentu w funkcji prędkości kątowej dla Tm=0.

 

Tm denotes the time constant of the motor, Wm is the idle angular velocity (for Mm=0 and Tm=0), Cm is a stiffness characteristic of the motor that is equal to the negative slope of the graph of the torque as a function of angular velocity for Tm=0.

 

          Układ równań całkujemy numerycznie. W tym celu zapiszemy go w postaci układu równań pierwszego rzędu. Niech . Mamy wtedy

          The system of equations we integrate numerically. For this purpose, we rewrite it as a system of first order equations. Let  F=U1, Mm=U3. We then have

 

,

,

 

 

.

(2.9)

 

Jako warunki początkowe przyjmiemy

As the initial conditions we take

 

.

(2.10)

W postaci wektorowej układ równań można zapisać następująco

The vector form of equations can be written as

 

.

(2.11)

Sposób rozwiązania numerycznego zilustrowany jest graficznie [8] na rys. 2.2. Znając wartość rozwiązania Un równania (2.11) w chwili tn chcemy znaleźć wartość rozwiązania Un+1 po upływie czasu Dt. W tym celu zastępujemy krzywą U, reprezentującą rozwiązanie, prostą do niej styczną. Z rys. 2.2 znajdujemy pierwsze przybliżenie rozwiązanie po upływie czasu Dt

 

The method of numerical solution is illustrated graphically [8] in Figure 2.2. Knowing the value Un of the solution of equation (2.11) at the time tn we want to find a value Un+1 of the solution after the time Dt. For this purpose, we replace the curve U representing a solution, by straight line tangent to it. From Figure 2.2 we find the first approximation of the solution after the time Dt

 

(2.12)

Lepsze przybliżenie tego samego rozwiązania otrzymamy obliczając średnie nachylenie dla stycznych na lewym i prawym brzegu przedziału

 

Better approximation of the same solution we obtain by calculating the average slope for the tangent on the left and right side of the interval

 

(2.13)

 

 

 

Rys. 2.2. Przybliżenie 1U uzyskane przez zastąpienie krzywej linią styczną; przybliżenie 2U  uzyskane przez zastąpienie krzywej liną prostą o średnim nachyleniu dla stycznych na początku i na końcu przedziału.

Figure 2.2. 1U approximation obtained by replacing the curve with tangent line; 2U approximation obtained by replacing the curve with line having average slope of the tangent at the beginning and end of the interval.

 

Nachylenie stycznej na prawym brzegu mogło być określone dzięki wykorzystaniu pierwszego przybliżenia (2.12) rozwiązania 1Un+1. Kolejne przybliżenia k+1U można otrzymać podstawiając otrzymany wynik kU do wzoru

 

The slope of the tangent on the right end can be determined by using the first approximation (2.12) of solutions 1Un+1. Successive approximations k+1U can be obtained by substituting the result kU into the formula

 

(2.14)

W obliczeniach korzystać będziemy się ze wzorów Runge-Kutta w których średnie nachylenie obliczone jest dla większej ilości stycznych

 

In the calculations we use the formulas in which the average gradient is calculated for a greater number of tangents

 

 

 

(2.15)

Środkowe styczne uwzględnione są dwukrotnie w pierwszym (k2) i drugim (k3) przybliżeniu.

Central tangents are taken into account twice in the first (k2) and second (k3) approximation.

 

 

Program komputerowy

Computer program

http://www.bhp-k412.p.lodz.pl/mmp.htm

 

 

Maszyna z podatnym wałem napędowym

The machine with the torsionally elastic drive shaft

 

Schemat maszyny analizowanej pokazany jest na rys. 2.3.

The diagram of the analyzed machine is shown in Figure 2.3.

 

   

 

Rys. 2.3. Schemat maszyny z podatnym wałem napędowym

Figure 2.3. The diagram of the machine with torsionally elastic drive shaft

 

Równanie ruchu wirnika A1 maj postać

The equation of the motion of the rotor A1 has the form

 

.

(2.16)

Korzystając zasady prac wirtualnych

Using the principle of virtual work

 

 

(2.17)

Otrzymujemy

we get

 

(2.18)

Moment silnika

The motor torque

 

.

(2.19)

Podstawiając

Substituting

(2.20)

otrzymamy układ równań pierwszego rzędu

we get a set of first-order equations

 

 

 

 

.

(2.21)

Moment sił skręcających wał

The shaft is subject to torsion by

 

.

(2.22)

 

 

 

Maszyna z podatnym wałem napędzanym

A machine with a torsionally flexible driven shaft

 

Schemat maszyny analizowanej pokazany jest na rys. 2.4.

Diagram of the analyzed machine is shown in Figure 2.4.

 

 

Rys. 2.4. Schemat maszyny z podatnym wałem napędzanym

Figure 2.4. The diagram of a machine with a torsionally flexible driven shaft

 

 

Korzystając zasady prac wirtualnych otrzymujemy

Using the principle of virtual work, one gets

 

,

 

,

(2.23)

 

Podstawiając  zależności

Substituting relationships

 

(2.24)

do układu  (2.23) otrzymujemy

to set (2.33), one obtains

 

 

 

(2.25)

Moment silnika znajdziemy z równania

The motor torque can be found from the equation

 

(2.26)

Układ równań drugiego rzędu zastępujemy układem równań pierwszego rzędu

Second-order equations we replace by the system of equations of first order

 

 

 

(2.27)

 

 

Wprowadzamy oznaczenia ułatwiające stosowanie macierzy

To facilitate the application of matrices we introduce the notation

 

.

(2.28)

Układ przyjmuje teraz postać (2.29)

The system now takes the form (2.29)

 

 

 

(2.29)

Moment z jakim krzywka działa na popychacz

The force moment at which the cam acts on the follower

 

(2.30)

gdzie  (T, C, W ) oznaczają stałe silnika.

where (T, C, W ) denote motor constants.

 

 

 

 

 

Mechanizm bidłowy krosna

Loom batten mechanism             

 

            Układ napędzany jest za pomocą dwóch mechanizmów dźwigniowych lub krzywkowych realizujących ruch tam i z powrotem, a następnie postój [11]. Mechanizmy krzywkowe mają po dwie krzywki tak wzajemnie usytuowane, aby zapobiec ucieczce popychacza.

The system is driven by two linkage or cam mechanisms, carrying rotary reciprocating motion [11]. The cam mechanisms have two conjugate cams so mutually arranged as to prevent the escape of the follower.

 

 

3phasea

 

 

 

Rys. 2.5. Schemat silnika napędowego i model mechanizmu bidłowego napędzanego mechanizmami krzywkowymi

Figure 2.5. The diagram of the drive motor and the model of the loom batten mechanism driven by the cam mechanisms and

Myślowo przecinając elementy podatne, a następnie stosując zasadę prac wirtualnych  razem z zasadą d’Alemberta znajdujemy

Cutting torsionally flexible elements and then applying the principle of virtual work together with the d'Alembert principle, we find

 

 

 

 

 

 

 

(2.31)

Tutaj (F,Y) oznaczają katy obrotu (A, B) masowe momenty bezwładności, (S,K) sztywności, (D,H) współczynniki tłumienia, moment sił zewnętrznych.

Here, (F,Y) denote the angles of rotation (A, B) mass moments of inertia, (S, K) stiffness, (D, H) damping, M the moment of external forces.

Aby obliczyć moment napędowy, jaki daje silnik trójfazowy (Rys. 2.5) skorzystamy z książki Bajorka [10]. Znajdujemy tam następujący układ równań 

To calculate the torque, which comes from a three-phase motor (Figure 2.5) we will use the formulas from Bajorek’s book [10]. There, we find the following system of equations

 

 

   

 

 

(2.32)

 

Oznaczenia: i macierz kolumnowa natężeń prądu, R macierz diagonalna oporności uzwojeń, L macierz kwadratowa indukcji, u=[Ucos(wst), Ucos(wst-a0), Ucos(wst-2a0), 0, 0, 0]T macierz kolumnowa napięć zasilania, ws prędkość kątowa pola elektrycznego i a0=2p/3. .

Symbols: i denotes the column matrix of currents, R diagonal matrix of winding resistances, L induction square matrix, u=[Ucos(wst), Ucos(wst-a0), Ucos(wst-2a0), 0, 0, 0]T matrix column of voltages, ws  angular velocity of the electric field and a0=2p/3, .

Alternatywnie można skorzystać z uproszczonego równania

Alternatively you can use the simplified equation

 

(2.33)

gdzie stałe b i sk określone są wzorami

where the constants b and sk are defined by formulas

 

(2.34)

lub

or

(2.35)

 

 

 

 

      Dla parametrów określonych równaniami (2.34,2.35) charakterystyka silnika Mst   przechodzi przez moment rozruchowy Mr, moment maksymalny Mmax oraz prędkość synchroniczną ws. Charakterystyka (2.35) lub styczna do niej (2.34), przechodzi przez moment znamionowy Mzn dla prędkości znamionowej wzn.

For parameters defined by equations (2.34,2.35) motor characteristics Mst  pass through torque Mr, maximum torque Mmax and synchronous speed ws. Characteristics of (2.35) or tangential to it (2.34) passes through rated torque Mzn  for the rated speed wzn.

 

 

Maszyna szyjąca z chwytaczem o ruchu obrotowym

A sewing machine with a rotary hook

 

Uproszczony schemat maszyny do szycia [1] z chwytaczem wirującym, napędzanym pasem zębatym pokazany jest na rys. 2.6. Pominięto mechanizm transportu, podciągacza, podatność wałów, siły tarcia oraz sił w niciach i tkaninie.

The simplified diagram of the sewing machine [1] with rotating hook driven by a timing belt is shown in Figure 2.6. Other mechanisms, friction forces, thread and fabric forces are not included here.

 

 

Rys. 2.6. Schemat napędu igielnicy i chwytacza w maszynie szyjącej

Figure 2.6. The diagram of the drive of a needle bar and a hook in a sewing machine

 

Suma momentów działających na wirnik silnika

The sum of force moments acting on the motor

 

(2.36)

 

gdzie Am oznacza masowy moment bezwładności, Fm  kąt obrotu, Mm moment napędowy wirnika silnika, (ra, rb) oznaczają promienie kół pasowych, (sb, Db) oznaczają odpowiednio sztywność i współczynnik tłumienia pasa.

where Am is the mass moment of inertia, Fm  the rotation angle, Mm driving torque of the motor, (ra, rb) are the radii of the pulleys, (sb, Db) denote the stiffness and damping coefficient of the belt.

                  Moment Mm silnika napędowego można znaleźć z równania

                  The torque Mm of the drive motor can be found from the equation

 

.

(2.37)

Tutaj, Tm oznacza stałą czasową, Wm prędkość kątową biegu jałowego, a Cm ujemne nachylenie charakterystyki statycznej silnika.

Here, Tm is the time constant, Wm the idle angular speed and Cm the negative slope of the static characteristics of the motor.

      Suma prac wirtualnych sił działających na wał korbowy wynosi

      The sum of the virtual works of forces acting on the crankshaft is

 

(2.38)

gdzie

where

.

(2.39)

 MA oznacza moment sił działających na wał korbowy, (A, F) oznaczają kolejno masowy moment bezwładności i kąt obrotu wału korbowego, (RH,, rH ) oznaczają promienie kół pasowych, (sH , DH) oznaczają odpowiednio sztywność i współczynnik tłumienia pasa zębatego napędzającego chwytacz, Y oznacza kat obrotu chwytacza, Y jest współrzędną określającą położenie igielnicy, a mN  to masa igielnicy. Podstawiając wielkości (2.39) do równania (2.38) otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu wału korbowego

MA is the moment of forces acting on the crankshaft, (A, F) denote the mass moment of inertia and angle of rotation of the crankshaft, (RH,, rH ) are the radii of pulleys, (sH , DH) denote the stiffness and damping coefficient of the timing belt driving hook, Y is the angle of rotation of the hook, Y is the coordinate defining the position of the needle bar and mN is its mass. Substituting the expressions ​​(2.39) into equation (2.38) we obtain the differential equation of the motion of the crankshaft

 

(2.40)

Suma momentów sił działających na wał chwytacza

The sum of the moments of forces acting on the hook shaft

 

(2.41)

gdzie BH oznacza jego masowy moment bezwładności.

where BH is the mass moment of inertia.

 

Uproszczony model maszyny szyjącej z chwytaczem o ruchu obrotowo zwrotnym

A simplified model of sewing machines with reciprocally rotating hook

 

 

Rys. 2.7. Mechanizmy chwytacza i igielnicy w maszynie szyjącej

Figure 2.7. The hook and needle mechanisms in a sewing machine

 

Na rys. 2.7 pokazany jest uproszczony schemat maszyny szyjącej [1]. Silnik napędza wał korbowy, który z kolei nadaje ruch kątowy Y wałowi chwytacza oraz ruch postępowy Y. Zależności kinematyczne określone były w dziale poświęconym kinematyce.

Figure 2.7 shows a simplified diagram of the sewing machine [1]. The motor drives the crankshaft, which in turn sets the hook in the angular motion Y  and in linear motion Y the needle. The kinematic relationships were defined in the section concerned with kinematics.

Suma prac elementarnych sił działających na układ równa się zero

The sum of elementary works of forces acting on the system is equal to zero

 

(2.42)

gdzie

where

       

(2.43)

Znaki dodatnie składników sumy (2.42) są wynikiem takiego wprowadzenia wektora siły i współrzędnej położenia, aby miał te same zwroty. To samo dotyczy momentów sił i współrzędnych kątowych. Dzieląc równanie przez dF  otrzymujemy

The positive signs of elements of the sum (2.42) result from introducing the same positive direction for the vectors and the coordinates. The same applies to the torques and the angular coordinates. Dividing the equation by dF, one  gets

 

(2.44)

Wykonując podstawienie otrzymujemy równanie

After carrying out the substitution, we obtain the equation

 

(2.45)

Dla funkcji złożonej mamy zależność

For the compound function we have the relationship

 

(2.46)

Podstawiając do równania ruchu (2.45) związki pomiędzy przyspieszeniami (2.5) oraz (2.46) otrzymujemy równanie

Substituting relationships (2.5, 2.46) to equation of motion (2.45), we obtain the equation

 

(2.47)

Po uporządkowaniu równanie ruchu (2.47) przyjmuje postać

Setting in order equation (2.47) with respect to sought function F, one obtains

 

(2.48)

 

Dla napędu bezpośredniego moment napędowy jest momentem silnika MAm = Mm. Dla napędu za pośrednictwem przekładni pasowej MAm jest momentem, jaki wywiera siła w pasie na koło pasowe wału korbowego

For a direct drive the motor torque drives directly the mechanism and we have MAm = Mm. In case of using belt drive torque MAm comes from the force exerted by the belt on the crankshaft pulley

 

.

(2.49)

Siła w pasie określona jest tu jako suma składnika proporcjonalnego do rozciągnięcia pasa i składnika proporcjonalnego do szybkości tego rozciągnięcia. Dla wirnika silnika mamy równanie

The force in the belt is calculated here as the sum of the component proportional to the stretch of the belt and a component proportional to the speed of the stretch of the belt. For the motor we have the equation

 

(2.50)

 

 

 

Mechanizmy o ruchu zmiennym - uwagi ogólne

Mechanisms of variable motion - general remarks

 

Mechanizmy o ruchu zmiennym są bardzo wrażliwe na wielkość bezwładności elementów. Już niewielkie zmniejszenie masy elementów roboczych umożliwia zmniejszenie masy pozostałych elementów łańcucha kinematycznego, co prowadzi do zmniejszenia sił napędowych i umożliwia zwiększenie prędkości.

 

Mechanisms of variable motion are very sensitive to the magnitude of the elements inertia. Even a small reduction of mass of the working parts make possible the reduction of masses of other components in the kinematic chain, which leads to a reduction of  driving forces and allows one to increase speed.

 

Momenty sił bezwładności, jakie towarzyszą ruchowi zmiennemu, powodują fluktuacje prędkości kątowej wału. Pozostaje to w kolizji do tendencji do ruchu ze stała prędkością kątową kół zamocowanych do tego wału. Skutkiem tej kolizji są drgania skrętne wału. W celu zmniejszenia tych drgań zwiększamy momenty bezwładności korb i krzywek, a zmniejszamy je dla pozostałych kół zamocowanych do wału.

 

Moments of inertia forces that accompany the variable motion cause fluctuations in the angular velocity of the driving shaft. This is in conflict with the tendency to the motion with the constant angular velocity of wheels attached to the shaft. As the result of this collision torsional vibrations of the shaft occur. In order to reduce these vibrations we increase the moments of inertia of the cranks and cams and reduce inertia of the other wheels, that are mounted to the shaft.

 

Jeżeli mamy do czynienia z ruchem przechodzącym w postój, to w celu ograniczenia naprężeń, okres drgań własnych wynikających ze sztywności wału powinien być mniejszy od czasu trwania zmiany ruchu.

 

If we are dealing with the motion having dwells the vibration period resulting from the stiffness of the shaft should be shorter than the duration of the dwell. This will reduce the stress in shaft.

 

Ze względu na to, że masowy moment bezwładności wirnika silnika jest znaczny, napęd powinien być przekazywany na wał krzywkowy lub korbowy za pośrednictwem pasa. Elastyczność pasa umożliwi fluktuację prędkości wału napędzanego, co zmniejszy kolizję pomiędzy jego ruchem i ruchem wirnika silnika.

 

Due to the fact that the mass moment of inertia of the motor is large, the drive should be passed on to a camshaft or a crankshaft via a belt. Flexibility of the belt allows the speed fluctuation of the driven shaft, which reduces the collision between its motion and the motion of the motor.

 

Jeżeli na wale poruszającym się ruchem obrotowo zwrotnym nie ma zamocowanych elementów o znaczących momentach bezwładności, to drgania skrętne wynikają z bezwładności jego masy. Nie można ich ograniczyć zwiększając sztywność wału, ponieważ jest ona proporcjonalna do momentu bezwładności przekroju tak samo jak obciążający wał masowy moment bezwładności. Aby ograniczyć wielkość tych drgań zastępujemy wał kilkoma współosiowymi odcinkami z odrębnymi napędami.

 

If the rotating shaft does not have attached to it components of the significant moments of inertia, then the torsional vibrations are due to the inertia of shaft mass. They cannot be reduced by increasing the stiffness of the shaft because both, the cross-section moment of inertia and mass moment of inertia are proportional one to the other. To reduce the amplitude of these oscillations we design the shaft that is composed of several coaxial sections with separate drives.

 

Jeżeli do wału poruszającego się ruchem obrotowo zwrotnym zamocowane są elementy powodujące jego niewyważenie prowadzące do drgań poprzecznych, to zwykle dołączamy dodatkowe masy wyważające wał. Powoduje to wzrost jego momentu bezwładności i przez to wzrost obciążeń działających na element napędowy, jakim jest krzywka lub korba. W tym wypadku korzystniejsze może być zastosowanie wielu podpór zapobiegających drganiom poprzecznym.

 

If the rotating reciprocally shaft has attached element causing its imbalance leading to transverse vibrations, then we attach to it balancing masses. This increases the moment of inertia and thus it increases of forces acting on the driving element, which is the cam or crank. In this case, you may consider using multiple supports to prevent lateral vibration, instead of balancing.

 

Jeżeli element roboczy, zamocowany do końca oscylującego ramienia, ma mieć zwiększoną amplitudę ruchu, to należy dokonać optymalizacji w celu określenia, czy korzystniejsze jest wydłużenie ramienia, czy zwiększenie kąta obrotu.

 

If the operating element, fastened to the end of an oscillating arm, is to have greater amplitude of motion, it should be optimized in order to determine whether it is preferable to extend the arm or increase the angle of rotation.

 

Projektując krzywkę przyjmujemy jako kryterium minimum działających na nią naprężeń. Maksymalne siły powinny działać wtedy, gdy toczek naciska na wklęsłą część krzywki lub, gdy krzywka ma największy promień krzywizny. Równość maksymalnych przyspieszeń w przeciwnych punktach zwrotnych nie powinna być przyjmowana jako kryterium.

 

In designing the cam we use the criterion of minimum stress acting on it. The maximum force should occur when the roller press on concave part of the cam or when the cam has the largest radius of curvature. Equality of maximum acceleration in the opposite turning points should not be taken as a criterion.

 

Aby uniemożliwić kontakt krawędziowy toczka i krzywki, który może być skutkiem nierównoległości ich osi, wynikającej z błędów wykonania, zastępuje się walcowy kształt toczka kształtem baryłkowatym o dużym (np. 2m) promieniu baryłkowatości.

 

To prevent the edge contact of the roller with the cam, which may be due to the inaccuracy of parallelism of their axis resulting from a low manufacture precision, we use a barrel shaped roller of a large (e.g. 2m) radius of curvature instead of a cylinder,.

 

Aby zapobiec odrywaniu się rolki od krzywki stosujemy dwie współosiowe sztywno połączone krzywki z ramionami popychacza mającymi rolki po przeciwnych stronach krzywki. Jedna z krzywek będzie wklęsła, a drugą wypukła. Jeżeli stosujemy krzywkę z rowkiem, to musimy pamiętać o tym, że w czasie jednego cyklu rolka będzie się toczyła raz po bieżni wewnętrznej raz po zewnętrznej, co będzie powodowało zmianę kierunku jej obrotów. Stosowanie sprężyn ograniczone jest tylko do małych obciążeń. Zastosowanie sprężyn do dużych obciążeń nie jest możliwe gdyż wymagałoby stosowania dużego momentu rozruchowego silnika.

 

To prevent losing contact of roller with cam we use two coaxial rigidly connected followers having rollers on opposite sides of the cams. One of the cams will be concave and the other convex. If we use the grooved cam, we must remember that during one cycle of rotation of cam the roller will contact once the inner race and then the outer race, which will change the direction of its rotation. The use of springs is limited only to small loads. Use heavy-duty springs is not possible since it would require a high starting torque of the motor.

 

Wał wahacza powinien być oparty na łożyskach ślizgowych smarowanych olejem pod ciśnieniem. Łożyska toczne nie powinny być stosowane ze względu na to, że niepełny ruch kątowy wału powoduje, iż rolki nie wykonują pełnego obiegu, a wał opiera się na kilku rolkach.

 

The rocker shaft should be supported on journal bearings that are lubricated with oil under pressure. Rolling bearings should not be used due to the fact that incomplete angular movement of the shaft causes the rollers do not do the full revolution, and the shaft is supported by a few rolls.

 

 

Laboratorium komputerowe

            Ułożyć programy komputerowe symulujące pracę wyżej opisanych maszyn [31-47] przyjmując wcześniej określone funkcje dla mechanizmów dźwigniowych i krzywkowych. Przyjąć wartości współczynników tłumienia takie, aby maszyna osiągnęła stan ustalony w możliwie krótkim czasie. Zbadać wpływ masowych momentów bezwładności, sztywności elementów podatnych oraz parametrów silnika napędowego.

Computer lab

Write the computer programs that simulate the work of described above machinery [31-47] taking pre-defined linkage mechanisms and  pre-defined functions for cam mechanism. Take the damping coefficients such that the machine reaches a steady state in possibly short time. Examine the influence of mass moments of inertia, stiffness of flexible elements and motor parameters.

 

 

 

 

 

 

 

3. MECHANIKA MANIPULATORÓW

3. MANIPULATOR MECHANICS

Schematy przykładowych manipulatorów [12,13,14] pokazane są na rys. 3.1, 3.2 i 3.3. Manipulator składa się elementów połączonych szeregowo (rys. 3.4). Sąsiadujące elementy mogą się względem siebie obracać lub przesuwać. Dotyczy to także ruchu względem ostoi. Jeden koniec szeregu jest zamocowany do podstawy, drugi może się swobodnie poruszać. Z elementami manipulatora wiążemy układy współrzędnych wn=(xn,yn,xn) w taki sposób, aby sąsiednie układy miały jedną oś równoległą o takiej samej nazwie i takim samym kierunku dodatnim. W tym przypadku transformacja współrzędnych z jednego układu współrzędnych do drugiego wymaga jedynie przesunięcia lub obrotu względem tej osi. Warunek równoległości osi spełniamy przez wybór odpowiedniej ilości układów współrzędnych i wybór odpowiedniego ich usytuowania.

Diagrams of sample manipulators [12,13,14] are shown in Figures 3.1, 3.2 and 3.3. The manipulator is composed of elements connected in series (Figure 3.4). The neighbouring elements can be rotated relative to each other or slide. This also applies to motion relative to the base. One end of the series is fixed to the base, the other can move freely. With elements of the manipulator we associate coordinate system wn=(xn,yn,xn) in such a way that adjacent systems have one axis parallel with the same name and the same positive direction. In this case, the transformation of coordinates from one coordinate system to another requires only a shift or rotation relative to this axis. The condition of parallel axis can be met by selecting the appropriate number of coordinate systems and the selection of their suitable location.

 

Rys. 3.1. Położenie manipulatora określają kąty: a0, g1, g2, g3, a4 oznaczające ruch względny elementów

Figure 3.1. The position of the manipulator is determined by angles: a0, g1, g2, g3, a4  denoting the relative motion of elements

 

 

Rys. 3.2. Położenie manipulatora określają kąty: a0, g1, g2, a3, g4  oznaczające ruch względny elementów

Figure 3.2. The position of the manipulator is determined by angles: a0, g1, g2, a3, g4  denoting the relative motion of elements

 

 

Rys. 3.3. Położenie manipulatora określają kąty: a0, g1, a3, g4 oraz przesunięcie a3 oznaczające ruch względny elementów

Figure 3.3. The position of the manipulator is determined by angles: a0, g1, g2, a3, g4  denoting the relative motion of elements

 

 

Rys. 3.4. Schemat manipulatora; układy współrzędnych w=(x,y,x)

Figure 3.4. Diagram of the manipulator; coordinate systems w = (x, y, x)

 

Niech trajektoria elementu roboczego P będzie zdefiniowana trzema jego współrzędnymi w układzie nieruchomym oraz kątami jakie on tworzy z osiami tego układu w funkcji czasu

Let the trajectory of the workpiece P be defined by three of its coordinates in the system fixed to the base and the angles with the axes of this system as a function of time

 

        

 

 

(3.1)

Mając współrzędne przedmiotu w układzie chwytaka trzeba obliczyć jego współrzędne w układzie ostoi, przechodząc kolejno przez układy pośrednie. W tym celu potrzebne nam będzie przekształcenie pozwalające obliczyć współrzędne w układzie k-1, mając współrzędne punktu w układzie k.  Dla układu obróconego wokół osi z o kąt g mamy (1.17)

With the coordinates of the object in the gripper system we have to calculate its coordinates in the base system, passing successively through intermediate systems. For this purpose we will use the transformation that allows us to calculate the coordinates in the system k-1 having the coordinates of a point in the system k. For the system rotated angle g around the z axis we have (1.17)

 

Rys. 3.5. Współrzędne punktu w układzie k oraz k-1

Figure 3.5. The coordinates of the system k and k-1

 

(3.2)

W zapisie macierzowym

In matrix notation

 

.

 (3.3)

 

Podobne zależności znajdujemy dla układów obróconych wokół osi x i y (1.17-1.19). Macierze dla układów obróconych względem osi odpowiednio (x, y, z)  mają postać

Similar relations can be found for the systems that are rotated around the axis of x and y (1.17-1.19). Matrices for the systems rotated around the axis (x, y, z) have the following form, respectively

 

,   ,   

 

.

(3.4)

 

Uwzględniając przesunięcie, zależność pomiędzy współrzędnymi możemy teraz zapisać następująco

Including the shift, the relationship between the coordinates can now be written as

 

.

(3.5)

 

Wektor (a,b,c) oznacza przesunięcie początków układów współrzędnych względem siebie.  Zależność (3.5) można zapisać w postaci następującego iloczynu

Vector (a, b, c) is the offset of the origins of coordinate systems to each other. Relation (3.5) can be written as the following product

 

.

(3.6)

 

Macierze (3.4) dla układów obróconych względem osi odpowiednio (x, y, z) i przesuniętych o wektor (a,b,c) zastąpimy teraz macierzami

Matrices (3.4) for systems rotated around axis (x, y, z) and shifted by a vector (a, b, c) we now replace by matrices

 

,  ,

 

 

(3.7)

 

Równanie (3.5) można teraz zapisać następująco

Equation (3.5) can now be written as

 

(3.8)

Nie zawiera ono sumy, a tylko iloczyn. Przechodząc teraz od układu do układu znajdujemy współrzędne w układzie związanym z ostoją

It contains only products without sums. Turning now from one system to the other we find the coordinates in the base fixed system

 

 

.

 

(3.9)

 

Rys. 3.6. Współrzędne punktu w układach o przesuniętych początkach i obróconych względem siebie.

Figure 3.6. The coordinates of the point in systems that are shifted and rotated relative to each other.

 

Jeżeli zamiast kątów obrotu wokół osi weźmiemy pod uwagę kąty pomiędzy osiami (rys. 3.6) i dodatkowo uwzględnimy przesuniecie względne układów, to zależność pomiędzy współrzędnymi punktu w obydwu układach można wyrazić następująco

If instead of the angles of rotation around the axis we consider the angles between the axes (Fig. 3.6) and also we take into account the relative shift of systems, the relationship between the coordinates of the point in the two systems can be expressed as follows

 

.

(3.10)

 

Zależność pomiędzy współrzędnymi w układzie n i 0 ma postać

The relationship between the coordinates in the system n and 0 has the form

 

(3.11)

 

Porównując (3.9) i (3.11) znajdujemy kosinusy kątów pomiędzy osiami

Comparing (3.9) and (3.11) we find the cosines of the angles between the axes

(3.12)

 

Oznaczmy symbolem F  te spośród (), które oznaczają współrzędne nastawiane za pomocą silników. Określają one względny obrót lub przesunięcie elementów manipulatora. Dobieramy F tak długo, aż współrzędne (3.9) oraz kąty (3.12) osiągną wartości bliskie tym określonym zależnościami (3.1). Sprowadza się to do znalezienia miejsca zerowego funkcji

Denote F  those of (), which represent the coordinates adjusted by motors. They determine the relative rotation and displacement components of the manipulator. We calculate F  as long as the coordinates (3.9) and angles (3.12) reach values ​​close to that specified by (3.1). This amounts to finding values for which the function (3.13) becomes equal to zero

 

.

(3.13)

 

Obliczenia realizujemy posługując się metodą Brenta [6].

Calculations can be carried out using the Brent’s [6] method.

Po dobraniu właściwego wektora F, jako funkcji czasu, znajdujemy współrzędne każdej z mas k w układzie nieruchomym 0

After selecting the proper vector F as a function of time, we find the coordinates of each of the masses k in the system fixed to the base coordinate system 0

 

.

(3.14)

 

Możemy teraz obliczyć ich przyspieszenia korzystając z różniczkowania numerycznego. Oznaczając Wn=w(tn), w(t)=w0(k) i Dt=tn+1-tn dla pierwszego i drugiego punktu trajektorii mamy

We can now calculate the acceleration using numerical differentiation. Denoting Wn=w(tn), w(t)=w0(k) and Dt=tn+1-tn for the first and second point of the trajectory we have

 

,

(3.15)

dla kolejnych punktów

for next points

 

,

(3.16)

dla przedostatniego i ostatniego punktu trajektorii

for the one before last and last point of the trajectory

 

.

(3.17)

Znalezione wartości przyspieszeń pozwalają obliczyć siły bezwładności, a następnie siły napędowe i wewnętrzne.

Found acceleration values ​​allow to calculate the forces of inertia, the driving forces and the internal forces.

               W celu obliczenia sił bezwładności, masa manipulatora zostaje podzielona na masy skupione w początkach układów współrzędnych [12].

               In order to calculate the forces of inertia, the mass of the manipulator is divided into the mass concentrated at the beginnings of coordinate systems [12].

 

Rys. 3.7. Schemat manipulatora po zastąpieniu jego masy masami skupionymi mn

Figure 3.7. Diagram of the manipulator with its mass replaced by concentrated masses mn

 

               Siła działająca na masę k zapiszemy w postaci

               Force acting on the mass k we write in the form

 

.

(3.18)

Superskrypt (w0 ) oznacza że siła określona jest przez jej składowe w układzie współrzędnych nieruchomych w0. Składowe przyspieszeń obliczone są w układzie nieruchomym.

Superscript (w0) means that the force is determined by its components in the motionless coordinate system w0. The components of the accelerations are calculated in the motionless system.

 

 

Rys. 3.8. Składowe  (F(x),   F(y), F(z)) wektora siły F , składowe  (r(x),r(y),r(z)) wektora położenia punktu przyłożenie siły, składowe (M(x), M(y), M(z)) momentu siły F względem początku układu współrzędnych.

Figure 3.8. The components (F(x),   F(y), F(z)) of the vector force F, the components  (r(x),r(y),r(z)) of the position vector of the point where force is applied, the components (M(x), M(y), M(z)) of the moment of force F with respect to the origin.

 

Wszystkie siły i momenty sił wyrazimy przez macierze kolumnowe ich składowych w nieruchomym układzie współrzędnych.

All forces and moments we express by the column matrix of components in a fixed coordinate system.

 

.

(3.19)

W takim zapisie mogą być one dodawane algebraicznie.

In this notation they can be added algebraically.

Sumując wszystkie siły działające na manipulator od swobodnego końca do punktu l otrzymujemy wypadkową siłę działającą na ten punkt

Adding up all the forces acting on the manipulator from the free end to the point l we get the resultant forces acting on the point

 

(3.20)

Moment siły względem punktu (rys. 3.8) określimy w zapisie macierzowym w następujący sposób

Moment of force with respect to the point (Figure 3.8) we define in the matrix notation as follows

.

(3.21)

 

Moment siły k wokół punktu l możemy teraz zapisać jako

Moment of force k about a point l we can now write as

 

,  ,   .

(3.22)

 

Sumując momenty sił względem punktu l otrzymujemy wypadkowy moment

Summing moments with respect to point l we obtain the resultant moment

 

(3.23)

Wzory (3.20, 3.23) określają składowe w nieruchomym układzie współrzędnych. Potrzebne są inne składowe, mianowicie siły i momenty sił napędowych, siły normalne, tnące i momenty gnące.

Formulas (3.20, 3.23) specify the components in a fixed coordinate system. We need other components, namely the driving forces and moments, normal and shear forces, and bending moments.

Najpierw znajdziemy potrzebne nam zależności. Mając składowe siły F w układzie k‑1 obliczmy składowe w układzie k. Zależności te znajdziemy w sposób pokazany na rys. 3.9

First, we find required relationships. Having components of the force F in the system k‑1 we calculate the components in the system k. These relationships can be found as shown in Figure 3.9

 

.

(3.24)

silasila1

Rys. 3.9. Wektor F reprezentowany przez alternatywne składowe

Figure 3.9. Vector F represented by alternative components

 

Równania (3.24) można zapisać w postaci macierzowej

Equations (3.24) can be written in a matrix form

 

.

(3.25)

Podobne zależności znajdujemy dla składowych w układzie obróconym wokół pozostałych osi. Macierze Q dla składowych w układach obróconych wokół osi x, y i z mają postać

Similar relations we find for the components in the system rotated around the other axes. Matrices Q for the components in the systems rotated around the axis x, y and z have the form

 

,   ,  

 

.

(3.26)

Zależność pomiędzy składowymi w kierunkach kolejnych osi dla sił i momentów możemy teraz zapisać następująco

The relationship between components in the directions of successive axes for forces and moments can now be written as

 

 ,                     .

(3.27)

Wielokrotne rekurencyjne podstawienie zależności (3.27) pozwala zstąpić składowe w układzie w0, składowymi w układzie lokalnym wl

Repeated substitution of recursive relations (3.27) allows one to replace components in the system w0 by the components in the local coordinate system wl

 

,

(3.28)

.

(3.29)

Składowe wektorów (3.28, 3.29) stanowią siły i momenty napędowe oraz siły tnące, momenty gnące i skręcające.

Components of the vectors (3.28, 3.29) are the driving forces and moments and shear forces, bending and torsion moments.

 

Laboratorium komputerowe

Przeprowadzić obliczenia symulacyjne dla wybranego manipulatora i zadanej trajektorii ruchu [12]. 

Computer lab

Perform simulation calculations for the selected manipulator and defined motion trajectory [12].

 

4. DRGANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH

4. VIBRATIONS OF MECHANICAL SYSTEMS

 

Wibroizolacja

Vibration isolation

      Jeżeli masa m spoczywa na sztywnym podłożu (rys. 4.1a), to siła F0sinwt przenosi się całkowicie na podłoże. Gdyby nie było siły ciężkości i masa mogłaby się poruszać swobodnie (rys. 4.1b), to siła ta równoważona byłaby przez siłę bezwładności md2x/dt2. Aby zrównoważyć siłę ciężkości mg, a jednocześnie umożliwić ruch masy, podpieramy masę odpowiednio miękką sprężyną (rys. 4.1c).

      If the mass m rests on a rigid ground (Fig. 4.1a), the force F0sinwt is transferred completely to the ground. If there was no gravity and the mass could move freely (Fig. 4.1b), then this force would be balanced by the inertia force md2x/dt2. To balance the force of gravity mg, and yet allow the mass movement, we support it with a suitably soft spring (Fig. 4.1c).

 

 

Rys. 4.1. Układ pod działaniem sił zewnętrznych: (a) sztywne podparcie powodujące przenoszenie siły na podłoże; (b) brak podparcia - możliwy w stanie nieważkości - umożliwiający swobodny ruch masy, któremu towarzyszy siła bezwładności równoważąca siłę zewnętrzną; (c) podparcie sprężyste równoważące siłę ciężkości, ale umożliwiające ruch, którego efektem są siły bezwładności.

Figure 4.1. System under the action of external forces: (a) a rigid support that cause force transfer to the ground, (b) lack of support - possible in weightlessness - allowing the free movement of mass, accompanied by the inertia force that is balancing the external force, (c) the elastic support balancing force of gravity, but allowing mass motion, which results in inertial forces.

 

Równie ruchu ma postać

The equation of motion

.

(4.1)

Rozwiązanie reprezentujące drgania wymuszone

The solution representing the forced vibration

 

,

.

(4.2)

w0 oznacza częstość drgań własnych. Nacisk na podłoże będzie mały pod warunkiem że częstość wymuszenia w będzie wielokrotnie większa od częstości drgań własnych w0 .

 

w0